Forskare vid Caltech har hittat ett snabbt och effektivt sätt att summera stora mängder Feynman-diagram, de enkla ritningar som fysiker använder för att representera partikelinteraktioner. Den nya metoden har redan gjort det möjligt för forskarna att lösa ett långvarigt problem inom materialvetenskapen och fysiken, känt som polaronproblemet, vilket ger forskare och ingenjörer ett sätt att förutsäga hur elektroner kommer att flöda i vissa material, både konventionella och kvantmekaniska.
På 1940-talet föreslog fysikern Richard Feynman först ett sätt att representera de olika interaktioner som sker mellan elektroner, fotoner och andra fundamentala partiklar med hjälp av 2D-ritningar som består av raka och vågiga linjer som skär varandra i hörn. Även om de ser enkla ut, gör dessa Feynman-diagram det möjligt för forskare att beräkna sannolikheten för att en viss kollision, eller spridning, kommer att ske mellan partiklar.
Eftersom partiklar kan interagera på många olika sätt behövs många olika diagram för att beskriva alla möjliga interaktioner. Varje diagram representerar ett matematiskt uttryck. Genom att summera alla möjliga diagram kan forskarna därför få fram kvantitativa värden relaterade till specifika interaktioner och spridningssannolikheter.
”Att summera alla Feynman-diagram med kvantitativ noggrannhet är den heliga graal inom teoretisk fysik”, säger Marco Bernardi, professor i tillämpad fysik, fysik och materialvetenskap vid Caltech.
”Vi har angripit polaronproblemet genom att summera alla diagram för den så kallade elektron-fonon-växelverkan, i princip upp till en oändlig ordning.”
I en artikel publicerad i Nature Physics använder Caltech-teamet sin nya metod för att exakt beräkna styrkan hos elektron-fonon-växelverkan och för att kvantitativt förutsäga tillhörande effekter. Huvudförfattare till artikeln är doktoranden Yao Luo, medlem i Bernardis grupp.
För vissa material, såsom enkla metaller, kommer elektronerna som rör sig inuti kristallstrukturen endast att interagera svagt med dess atomära vibrationer. För sådana material kan forskare använda en metod som kallas perturbationsteori för att beskriva interaktionerna som uppstår mellan elektroner och fononer, som kan betraktas som ”enheter” av atomära vibrationer.
Störningsteorin är en bra approximation i dessa system eftersom varje efterföljande ordning eller växelverkan blir mindre och mindre viktig. Det innebär att det räcker med att beräkna ett eller några få Feynman-diagram – en beräkning som kan göras rutinmässigt – för att få fram exakta elektron-fonon-växelverkan i dessa material.
Introduktion av polaroner
Men för många andra material interagerar elektroner mycket starkare med atomgitteret och bildar sammanflätade elektron-fonontillstånd som kallas polaroner. Polaroner är elektroner som åtföljs av den gitterförvrängning de inducerar. De bildas i ett brett spektrum av material, inklusive isolatorer, halvledare, material som används i elektronik eller energianordningar, samt många kvantmaterial.
Till exempel kommer en elektron som placeras i ett material med jonbindningar att förvränga det omgivande gitteret och bilda ett lokaliserat polaron-tillstånd, vilket resulterar i minskad rörlighet på grund av den starka elektron-fonon-växelverkan. Forskare kan studera dessa polaron-tillstånd genom att mäta hur ledande elektronerna är eller hur de förvränger atomgitteret omkring sig.
Störningsteorin fungerar inte för dessa material eftersom varje efterföljande ordning är viktigare än den föregående. ”Det är i princip en mardröm när det gäller skalning”, säger Bernardi.
”Om du kan beräkna den lägsta ordningen är det mycket troligt att du inte kan beräkna den andra ordningen, och den tredje ordningen blir helt omöjlig. Beräkningskostnaden ökar vanligtvis oerhört med interaktionsordningen. Det finns för många diagram att beräkna, och diagrammen av högre ordning är för beräkningsmässigt kostsamma.”
Polaronenergi kontra momentkurvor. Källa: Nature Physics (2025). DOI: 10.1038/s41567-025-02954-1
Summering av Feynman-diagram
Forskare har letat efter ett sätt att summera alla Feynman-diagram som beskriver de många, många sätt på vilka elektronerna i ett sådant material kan interagera med atomvibrationer. Hittills har sådana beräkningar dominerats av metoder där forskarna kan justera vissa parametrar för att matcha ett experiment.
”Men när man gör det vet man inte om man verkligen har förstått mekanismen eller inte”, säger Bernardi. Istället fokuserar hans grupp på att lösa problem utifrån ”första principer”, vilket innebär att man börjar med ingenting mer än atomernas positioner i ett material och använder kvantmekanikens ekvationer.
När man tänker på omfattningen av detta problem, säger Luo att man ska föreställa sig att man försöker förutsäga hur aktiemarknaden kommer att bete sig imorgon. För att försöka göra detta skulle man behöva ta hänsyn till varje interaktion mellan alla handlare under en viss period för att få exakta förutsägelser om marknadens dynamik.
Luo vill förstå alla interaktioner mellan elektroner och fononer i ett material där fononerna interagerar starkt med atomerna i materialet. Men precis som när man försöker förutsäga aktiemarknaden är antalet möjliga interaktioner oerhört stort. ”Det är faktiskt omöjligt att beräkna direkt”, säger han. ”Det enda vi kan göra är att använda ett smart sätt att sampla alla dessa spridningsprocesser.”
Satsar på Monte Carlo
Forskare vid Caltech tar itu med detta problem genom att tillämpa en teknik som kallas diagrammatisk Monte Carlo (DMC), där en algoritm slumpmässigt samplar punkter inom utrymmet för alla Feynman-diagram för ett system, men med viss vägledning när det gäller de viktigaste platserna att sampla.
”Vi har fastställt några regler för att kunna röra oss effektivt och med stor smidighet inom utrymmet för Feynman-diagram”, förklarar Bernardi.
Caltech-teamet övervann den enorma datamängd som normalt skulle ha krävts för att använda DMC för att studera verkliga material med första princip-metoder genom att förlita sig på en teknik som de rapporterade om förra året och som komprimerar matriserna som representerar elektron-fonon-växelverkan.
Ett annat stort framsteg är att man nästan har eliminerat det så kallade ”teckenproblemet” i elektron-fonon-DMC med hjälp av en smart teknik som betraktar diagram som produkter av tensorer, matematiska objekt som uttrycks som flerdimensionella matriser.
”Den smarta diagramsamplingen, elimineringen av teckenproblemet och komprimeringen av elektron-fonon-matriser är de tre viktigaste pusselbitarna som har möjliggjort detta paradigmskifte i polaronproblemet”, säger Bernardi.
I den nya artikeln har forskarna tillämpat DMC-beräkningar i olika system som innehåller polarons, bland annat litiumfluorid, titandioxid och strontiumtitanat. Forskarna säger att deras arbete öppnar upp för en rad olika förutsägelser som är relevanta för experiment som genomförs på både konventionella och kvantmaterial, bland annat elektrisk transport, spektroskopi, supraledning och andra egenskaper i material som har stark elektron-fonon-koppling.
”Vi har framgångsrikt beskrivit polarons i material med hjälp av DMC, men den metod vi utvecklat kan också hjälpa till att studera starka växelverkan mellan ljus och materia, eller till och med ge en mall för att effektivt lägga samman Feynman-diagram i helt andra fysikaliska teorier”, säger Bernardi.
Mer information: Yao Luo et al, First-principles diagrammatic Monte Carlo for electron–phonon interactions and polaron, Nature Physics (2025). DOI: 10.1038/s41567-025-02954-1
